三角形・四角形 - 直角三角形
解答はページ下部にあります
問題
問．次の問いに答えなさい。
(1)
図でAB=CB、∠BAD=∠BCD=90°のとき、△ABD≡△CBDであることを証明せよ。
A
B
C
D
(2)
AB=ACの二等辺三角形ABCで、BCの中点をMとする。Mから辺AB、ACまで垂線を引き交点をそれぞれD、Eとする。このとき、DB=ECであることを証明せよ。
A
B
C
M
D
E
(3)
AB=ACの二等辺三角形ABCで、CからAB、BからACに垂線を引き、交点をそれぞれD、Eとする。このとき、∠ABE=∠ACDであることを証明せよ。
A
B
C
D
E
(4)
OPは∠AOBの二等分線である。∠OAP=∠OBP=90°のとき、AO=BOであることを証明せよ。
A
B
O
P
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解答
- 直角三角形の合同条件
①斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
②斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
(1)
図でAB=CB、∠BAD=∠BCD=90°のとき、△ABD≡△CBDであることを証明せよ。
A
B
C
D
△ABDと△CBDにおいて
仮定：AB=CB
仮定：∠BAD=∠BCD=90°
共通：BD=BD
よって直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABD≡△CBD
仮定：AB=CB
仮定：∠BAD=∠BCD=90°
共通：BD=BD
よって直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので
△ABD≡△CBD
(2)
AB=ACの二等辺三角形ABCで、BCの中点をMとする。Mから辺AB、ACまで垂線を引き交点をそれぞれD、Eとする。このとき、DB=ECであることを証明せよ。
A
B
C
M
D
E
△DBMと△ECMにおいて
仮定：∠BDM=∠CEM=90°
仮定：BM=CM（BCの中点がM）
二等辺三角形の底角：∠DBM=∠ECM
よって直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBM≡△ECM
合同な図形は対応する辺がそれぞれ等しいので
DB=EC
仮定：∠BDM=∠CEM=90°
仮定：BM=CM（BCの中点がM）
二等辺三角形の底角：∠DBM=∠ECM
よって直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△DBM≡△ECM
合同な図形は対応する辺がそれぞれ等しいので
DB=EC
(3)
AB=ACの二等辺三角形ABCで、CからAB、BからACに垂線を引き、交点をそれぞれD、Eとする。このとき、∠ABE=∠ACDであることを証明せよ。
A
B
C
D
E
△ABEと△ACDにおいて
仮定：AB=AC
仮定：∠AEB=∠ADC=90°
共通：∠BAE=∠CAD
よって直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACD
合同な図形は対応する角がそれぞれ等しいので
∠ABE=∠ACD
仮定：AB=AC
仮定：∠AEB=∠ADC=90°
共通：∠BAE=∠CAD
よって直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△ACD
合同な図形は対応する角がそれぞれ等しいので
∠ABE=∠ACD
(4)
OPは∠AOBの二等分線である。∠OAP=∠OBP=90°のとき、AO=BOであることを証明せよ。
A
B
O
P
△AOPと△BOPにおいて
仮定：∠OAP=∠OBP=90°
仮定：∠AOP=∠BOP
共通：OP=OP
よって直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△AOP≡△BOP
合同な図形は対応する辺がそれぞれ等しいので
AO=BO
仮定：∠OAP=∠OBP=90°
仮定：∠AOP=∠BOP
共通：OP=OP
よって直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
△AOP≡△BOP
合同な図形は対応する辺がそれぞれ等しいので
AO=BO